Pozorování proměnných hvězd – červenec 2024

Jedním z důležitých parametrů analýzy erupcí u chromosféricky aktivních hvězd je určení celkové uvolněné energie. Jednou z metod, kterou jsme použili pro výpočty energií pro GJ 3236, je využití známých parametrů – svítivosti hvězdy a svítivosti erupce. V nové publikaci „A study of flare emission in DV Psc using TESS data“, D. Lahiri, Astrophysic and Space Science, 2023 (dále publikace 189), se objevil kompilát informací o dalších možnostech výpočtu energií erupcí jinými metodami. Můžeme tyto metody mezi sebou porovnat, zda pomocí jiných vzorců získáme podobné výsledky.

Další z uvedených možností v publikaci (189) je výpočet energie erupce na základě znalosti teploty erupce a aktivní plochy erupce, výpočet energie erupce z plochy hvězdné skvrny a poslední možností je výpočet energie z rekonexe magnetických siločar (z výpočtu délky erupční smyčky).

Při výpočtech se zaměříme na případy dvou supererupcí uvedených v publikaci (189) f1 a f3, kde autoři předpokládají uvolněnou energii nad 10³⁵ erg.

1) Výpočet energie erupce na základě teploty erupce a její plochy

Plocha eruptivní oblasti se vypočítá ze vztahu

Výsledky výpočtu plochy erupce jsou uvedeny v tabulce 2 publikace (189). Parametry R, B nejsou v publikaci podrobně popisovány a hodnota F/Fav je uvedena v tabulce 1. Pro erupce f1 a f3 jsou uvedeny hodnoty 11,06.10¹⁹ cm² = 1,106.10¹⁶ m² a 20,91.10¹⁹ cm² = 2,091.10¹⁶ m². 

Výpočet svítivosti erupce se provede podle vzorce

L_flare =  . T⁴ _flare . A _flare

Kde za T se považuje teplota aktivní oblasti, která se zpravidla pohybuje kolem 10 000 K. Pak svítivost erupce f1 je rovno

L_flare1 = 5,67.10^-8. 10 000 ⁴. 1,106.10¹⁶ = 6,27.10²⁴ J = 6,27.10³¹ erg/s 

Celková uvolněná energie erupce se spočítá podle následujícího vztahu 

E_flare1 = L_flare1 (t) dt = 6,27.10³¹. 2332 s = 1,46.10³⁵ erg

Čas (t) trvání erupce je odečten z grafu světelné křivky (obrázek 2 (189)).

Stejným způsobem spočítáme hodnotu uvolněné energie erupce f3

L_flare3 = 5,67.10^-8. 10 000 ⁴. 2,091.10¹⁶ = 1,19.10²⁵ J = 1,19.10³² erg/s 

Es _flare3 = L_flare3 (t) dt = 1,19.10³². 2074 s = 2,46.10³⁵ erg

2) Výpočet energie erupce z plochy hvězdné skvrny

Tento výpočet probíhá ve třech krocích – výpočet rozdílu teplot fotosféry a hvězdné skvrny, výpočet plochy hvězdné skvrny a výpočet energie erupce z plochy skvrny a indukce magnetického pole.

1) Na výpočet rozdílu teplot mezi fotosférou a hvězdnou skvrnou lze použít vztah publikovaný Herbstem (2021)

T_star – T_spot = 3,58.10^-5 T² star + 0,0188 T _star – 239,3

Budeme předpokládat, že k erupcím dochází na primární složce DV Psc, která má povrchovou teplotu 4450 K

T_star – T_spot = 3,58.10^-5 4450² K + 0,0188 . 4450 K – 239,3 = 553 K 

2) Pro výpočet plochy hvězdné skvrny je možné použít vzorec z publikace Maehara (2012) a Shibata (2013)

A_spot = F _spot / F . (A _star) . ((1-(T_spot/T_star)⁴)^-1 ,

kde hodnota F _spot / F se dá určit z fotometrie části hvězdy bez skvrny a se skvrnou (variace světelné křivky v závislosti na fázi). Hodnoty pro erupce f1 a f3 jsou uvedeny v textu publikace (189) v kapitole 6.2. (pro f1 = 0,066 a f3 = 0,031). A star je plocha disku hvězdy. Pak

A_{spot f1} = 0,066 . 3,14.(4,94.10¹⁰ cm)² . ((1-((4450-553)/4450)⁴)^-1 = 

0,066 . 7,66.10²¹ . 2,43 = 1,22.10²¹ cm²

Stejný postup zvolíme i pro erupci f3,

A_{spot f3} = 0,031 . 3,14.(4,94.10¹⁰ cm)² . ((1-((4450-553)/4450)⁴)^-1 = 

0,031 . 7,66.1021 . 2,43 = 5,77.10²⁰ cm²

3) Výpočet energie vzplanutí z plochy skvrn a indukce magnetického pole

Es _flare = f . E_mag = f . B² (A_spot)^3/2 / 8 

Indukce magnetického pole B v blízkosti hvězdných skvrn se odhaduje v rozmezí 500 – 2000 G (intenzitu je možné měřit pomocí Zeemanova dopplerovského zobrazení spektrálních čar). Ve vzorci se vyskytuje koeficient f jako podíl magnetické energie, která se může uvolnit během rekonexe (Shibata 2013). Uvádí se hodnota 10 %.

Energie erupce f1 pro hodnotu indukce magnetického pole 500 G

Es _flare1 = f . E_mag = 0,1 . 500² (1,22.10²¹)^3/2 / 8  = 0,419.10³⁵ erg

Energie erupce f1 pro hodnotu indukce magnetického pole 2000 G

Es _flare1 = f . E_mag = 0,1 . 2000² (1,22.10²¹)^3/2 / 8  = 6,700.10³⁵ erg

Energie erupce f3 pro hodnotu indukce magnetického pole 500 G

Es _flare3 = f . E_mag = 0,1 . 500² (5,77.10²⁰)^3/2 / 8  = 0,138.10³⁵ erg

Energie erupce f3 pro hodnotu indukce magnetického pole 2000 G

Es _flare3 = f . E_mag = 0,1 . 2000² (5,77.10²⁰)^3/2 / 8  = 2,200.10³⁵ erg

3) Výpočet energie erupce ze známé indukce magnetického pole a délky erupční smyčky.

Výpočet závisí na znalosti hodnoty indukce magnetického pole B a délky erupční smyčky L. Ve vzorci se vyskytuje koeficient f jako podíl magnetické energie, která se může uvolnit během rekonexe (Shibata 2013). Uvádí se hodnota 10 %. 

Es _flare = f . L³ . B² / 2 

Po dosazení parametrů dostáváme hodnoty uvolněné energie

Es _{flare 1} = 0,1 . (6,68.10¹⁰)³ . 500² / 6,28 = 11,86.10³⁵ erg

Es _{flare 3} = 0,1 . (8,57.10¹⁰)³ . 500² / 6,28 = 25,06.10³⁵ erg

4) Výpočet energie erupce ze známé svítivosti hvězdy a svítivosti erupce

K výpočtu celkové uvolněné energie erupce je potřeba znát celkovou svítivost dvojhvězdy DV Psc, amplitudu zjasnění erupce a délku jejího trvání. Z literatury známe hodnoty svítivosti obou složek DV Psc L₁+L₂ = 7,118.10²⁵ W + 1,683.10²⁵ W = 8,801.10²⁵ W. Hodnoty maxima svítivosti erupce v magnitudách zjistíme ze světelné křivky (viz obrázek 1 a 2). Pro f1 = 0,2 mag. a pro f3 = 0,37 mag. Délka trvání erupce je f1 = 2332 sekundy a f3 = 2074 sekundy. 

Svítivost erupce v maximu spočítáme pomocí Pogsonovy rovnice

Ls _max = Ls . 10^{-0,4x(-  mag)} – Ls

Ls _{max f1} = 8,801.10²⁵ . 10^{-0,4x (-0,2 mag)} – 8,801.10²⁵ = 1,78.10²⁵ W

Es _flare1 = 1,78.1025 W . 2332 s / 2 = 2,07.10²⁸ J = 2,07.10³⁵ erg

Ls _{max f3} = 8,801.10²⁵ . 10^{-0,4x (-0,37 mag)} – 8,801.10²⁵ = 3,57.10²⁵ W

Es _{flare 3} = 3,57.10²⁵ W . 2074 s / 2 = 9,12.10²⁸ J = 9,12.10³⁵ erg

V publikaci (189) se také objevuje vzorec pro výpočet délky erupční smyčky

l = 1,64.10⁹ . ( t _decay / 100 s ) ^2/5 . ( Es _flare / 10³⁰ erg ) ^1/5 cm

Pak pro erupce f1 a f3 vychází délky erupčních smyček

l _f1 = 1,64.10⁹ . ( 2332 s / 100 s ) ^2/5 . ( 2.07.10³⁵ erg / 10³⁰ erg ) ^1/5 cm = 6,68.10¹⁰ cm

l _f3 = 1,64.10⁹ . ( 2074 s / 100 s ) ^2/5 . ( 9,12.10³⁵ erg / 10³⁰ erg ) ^1/5 cm = 8,57.10¹⁰ cm

Vzdálenost složek dvojhvězdy DV Psc je 1,4.10¹¹ cm, takže erupční smyčky zasahují do poměrně velké vzdálenosti od povrchu hvězdy. V případě erupce f1 do 47 % vzdálenosti hvězd, f3 do vzdálenosti 61 %.

Na výše uvedeném případě výpočtů energií erupcí lze ukázat, že se dají použít různé metody a vztahy, ale zárověň dojdeme řádově k podobným výsledkům.  

Obrázek č.1. Světelná křivka erupce f1 DV Psc. Jsou na ní vyznačeny základní parametry, délka trvání erupce a její amplituda. 

Obrázek č.2. Světelná křivka erupce f3 DV Psc. Jsou na ní vyznačeny základní parametry, délka trvání erupce a její amplituda.